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Tutorial L A TEX Comprendre et ´ ecrire un document en L ATEX Version : 0.5 ? octobre 2008 Sebastien Varrette <Sebastien.Varrette@imag.fr> R´ esum´ e LaTeX est un langage informatique qui permet de formatter et de g´ e- n´ erer des documents scienti?ques. LaTeX est notamment utilis´ e par les math´ ematiciens pour la qualit´ e du rendu et de la g´ en´ eration de formules math´ ematique. Ce document s?adresse ` a la fois aux n´ eophytes qui souhaitent apprendre ` a utiliser L A TEX qu?aux utilisateurs chevronn´ es qui veulent trouver rapide- ment une commande sp´ eci?que. La version courante de ce document est disponible sur mon site http://www-id.imag.fr/~svarrett/. 2 TABLE DES MATI` ERES Table des mati` eres 1 Introduction ` a L A TEX 4 1.1 Qu?est ce que L A TEX ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Quelques commandes de compilation . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Sous UNIX/Linux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Sous Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Sous Mac OS X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Structure g´ en´ erale d?un document L A TEX . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Packages usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Les bases 7 2.1 Caract` eres r´ eserv´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Caract` eres sp´ eciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Commandes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Espaces et retours ` a la ligne dans le ?chier source . . . . . . . . . 8 2.5 Structure hi´ erarchique du document . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Insertion de ?chiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Mise en page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7.1 Taille de caract` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7.2 Polices de caract` eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.3 Alignements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.4 Texte litt´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7.5 Texte soulign´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7.6 Espacements et sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7.7 En-t? ete et pied de page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.8 Les listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.9 Les r´ ef´ erences crois´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.10 Les notes en bas de page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Tableaux et figures en L A TEX 13 3.1 D´ e?nition de tableaux dans l?environnement tabular . . . . . . . 13 3.1.1 Fusion de cellules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 Ajout d?une barre oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.3 Ajout de cellules color´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Insertion d?images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Les maths et L A TEX 16 4.1 Le mode math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Polices de caract` eres sp´ eci?ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Symboles sp´ eciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3.1 Caract` eres et constructions sp´ eciaux . . . . . . . . . . . . 17 4.3.2 Les lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3.3 Symboles math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3.4 Fonctions standards (sin, cos etc...) . . . . . . . . . . . . . 19 4.4 Structures courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TABLE DES MATI` ERES 3 4.4.1 Indices et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.2 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4.4 Points de suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.5 Int´ egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.6 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.7 Limites, inf, sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.8 D´ eriv´ ees et d´ eriv´ ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4.9 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4.10 Coe?cients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4.11 Matrices et tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4.12 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4.13 Les ´ equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4.14 Les alternatives conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.5 Les ensembles math´ ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.6 Polices de caract` eres en mode math´ ematiques . . . . . . . . . . . 25 4.6.1 Accentuations en mode math´ ematique . . . . . . . . . . . 25 4.6.2 Les espaces en mode math´ ematique . . . . . . . . . . . . 25 4.7 Th´ eor` emes, propositions, d´ e?nitions etc... . . . . . . . . . . . . . 26 4.8 Division Euclidienne de polyn? omes . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Aspects avanc´ es 28 5.1 Bibliographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.1 Cr´ eation dynamique des entr´ ees bibliographiques . . . . . 28 5.1.2 Utilisation de BibTeX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1.3 Styles bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.1.4 R´ ef´ erencer un objet de la bibliographie . . . . . . . . . . . 30 5.1.5 Compilation avec des r´ ef´ erences bibliographiques . . . . . 30 5.2 Utilisation de la couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.3 Changer le style des pages d?un rapport ou d?un livre . . . . . . . 31 5.4 Rede?nition de commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5 Presenter un code source avec coloration syntaxique . . . . . . . 32 6 Liens utiles 32 A Licence 33 4 1 INTRODUCTION ` A L A TEX 1 Introduction ` a L A TEX 1.1 Qu?est ce que L A TEX ? A l?origine, D. E. Knuth a d´ evelopp´ e TEX notamment pour r´ ealiser de beaux documents et ´ ecrire des formules math´ ematiques. Ensuite, L A TEX fut ´ ecrit par L. Lamport en 1982 comme un jeu de macros au-dessus de TeX, plus facile ` a utiliser que ce dernier. 1.2 Principe L A TEX peut ? etre consid´ er´ e comme un langage de programmation ´ evolu´ e dans le sens o` u il s?appuie sur TeX qui est un langage de plus bas niveau. Cela signi?e que le document que l?on veut cr´ eer doit ? etre d´ ecrit dans un ?chier source (mon_fichier.tex par exemple), compos´ e d?un ensemble de commandes (balises) L A TEX puis doit ? etre compil´ e. Le compilateur L A TEX fournit en sortie un ?chier DVI (device independent) (mon_fichier.dvi). Ce ?chier peut alors lui-m? eme ? etre converti en format Postscript ou PDF pour ? etre imprim´ e/export´ e. La plupart des commandes L A TEX se caract´ erisent par le fait qu?elles com- mencent par un ?backslash? \, que leurs arguments obligatoires apparaissent entre accolades ({ et }) et que leurs arguments optionnels apparaissent entre crochets ([ et ]). Ex : \documentclass[12pt]{report}. 1.3 Quelques commandes de compilation 1.3.1 Sous UNIX/Linux 1. Pour compiler un ?chier source (?le.tex) : latex file.tex En cas d?erreur, la ligne o` u est situ´ ee l?erreur est indiqu´ ee. L?emplacement de l?erreur dans la ligne est pr´ ecis´ e par un retour ` a la ligne. Une explication succincte de l?erreur est ´ egalement fournie. L?utilisateur dispose alors d?un certain nombre de commandes : ? ??? : permet d?avoir un menu d?aide. ? ?h? : peut permettre d?avoir une explication plus d´ etaill´ ee de l?erreur sur laquelle LaTeX s?est arr? et´ e. ? ?return? : peut permettre de forcer la suite de la compilation. ? ?s? : permet de visualiser les messages d?erreur suivants. ? ?r? : permet de poursuivre la compilation sans arr? et. ? ?q? : permet de continuer la compilation sans messages. ? ?i? : permet d?ins´ erer quelque chose (une balise oubli´ ee par exemple) pour pouvoir poursuivre la compilation. ? ?e? : permet d?´ editer le ?chier source. ? ?x? : permet d?abandonner la compilation. ? Un chi?re de 1 ` a 9 permet d?ignorer les x prochains caract` eres du source. 2. Pour compiler les r´ ef´ erences bibliographiques : bibtex file. 3. Pour visualiser le ?chier DVI : xdvi file.dvi. 4. Transformer un ?chier DVI ?? PS : dvips file.dvi. 1.4 Structure g´ en´ erale d?un document L A TEX 5 5. Pour imprimer un ?chier PS : lp -d <mon_imprimante> file.ps. 6. Transformer un ?chier DVI ?? PDF : dvipdf file.dvi 7. Transformer directement un source L A TEX en PDF : pdflatex file.tex Finalement, la g´ en´ eration compl` ete d?un document PostScript n´ ecessite les ´ etapes suivantes : $ latex file.tex $ latex file.tex $ dvips file.dvi La seconde ´ etape permet de r´ etablir les r´ ef´ erences crois´ ees et la table des ma- ti` eres (sans cette recompilation, des ?? apparaitront). 1.3.2 Sous Windows Il su?t d?installer le compilateur freeware MikTeX1. Ensuite, le premier ´ editeur facile exploitable ´ etait WinEdt2. Il pr´ esente le d´ efaut d?? etre shareware si bien qu?on lui pr´ ef` erera aujourd?hui les alternatives freeware, tel TeXnicCenter3 ou MeVa4. Ghostview5 est un logiciel freeware qui permet de visualiser les ?chiers au format PostScript. 1.3.3 Sous Mac OS X Il su?t d?installer MacTeX6 et TexShop7 pour disposer d?un environnement int´ egr´ e complet et freeware. Dans les pr´ ef´ erences de TexShop, il faut juste penser ` a changer l?encoding par d´ efaut (MacOSRoman) pour Latin-1. Comme je pr´ ef` ere utiliser Emacs plut? ot que TexShop pour l?´ edition de mes documents L A TEX, j?ai cherch´ e un viewer dvi/pdf freeware qui se mette ` a jour directement ` a chaque compilation. C?est ainsi que j?ai d´ ecouvert TeXniscope8. 1.4 Structure g´ en´ erale d?un document L A TEX Un premier exemple tr` es simple : % Ceci est un commentaire % En?tete de tout document LaTeX. Sp´ ecifie le type de document ´ ecrit \documentclass[11pt,a4paper]{article} \begin{document} % marque le d´ ebut du texte ` a composer Le corps du document.... \end{document} % marque la fin du document 1 http://www.miktex.org 2 http://www.winedt.com/ 3 http://www.toolscenter.org/ 4 http://www.meshwalk.com/latexeditor/ 5 http://www.cs.wisc.edu/~ghost/ 6 http://www.tug.org/mactex/ 7 http://www.uoregon.edu/~koch/texshop/ 8 http://www2.ing.unipi.it/~d9615/homepage/texniscope.html 6 1 INTRODUCTION ` A L A TEX Un document L A TEX commence donc toujours par une commande documentclass permettant de sp´ eci?er la classe de document (entre accolades). Les classes les plus utilis´ ees sont article, report, letter, et book. Les options de cette com- mande sont d´ eclar´ ees entres crochets. Parmi les plus courantes, on mentionnera 10pt, 11pt, 12pt (qui d´ eterminent la taille nominale des polices), a4paper (pour les dimensions de la feuille de papier), french, twocolumn (pour la disposition du texte sur deux colonnes), twoside (´ ecriture recto-verso) etc. En pratique, l?en-t? ete permet de d´ e?nir un certain nombre de con?gurations, notamment les packages utilis´ es (par la commande \usepackage), les red´ e?ni- tions de commandes (voir §5), le titre, le style bibliographique etc. L?exemple suivant devrait convenir ` a la plupart des usages : \documentclass[11pt,twoside,a4paper]{article} %=============== En?Tete =============== %??? Insertion de paquetages (optionnel) ??? \usepackage[french]{babel} % pour dire que le texte est en fran¸ cais \usepackage{a4} % pour la taille \usepackage[T1]{fontenc} % pour les font postscript \usepackage[cyr]{aeguill} % Police vectorielle TrueType, guillemets fran¸ cais \usepackage{eps?g} % pour g´ erer les images \usepackage{amsmath, amsthm} % tr` es bon mode math´ ematique \usepackage{amsfonts,amssymb}% permet la definition des ensembles \usepackage{?oat} % pour le placement des figure \usepackage{url} % pour une gestion efficace des url \bibliographystyle{plain} % Style bibliographique %??? Pour le titre ??? \title{Titre du document} \author{Sebastien Varrette <\url{Sebastien.Varrette@imag.fr}>} %=============== Corps =============== \begin{document} \maketitle % ´ ecrit le titre \tableofcontents % ´ ecrit la table des mati` eres \section{premi` ere section} \subsection{premi` ere sous?section} le texte ... \end{document} 1.5 Packages usuels ? aeguill : avec l?option cyr, inclut le package ae pour produire des docu- ments PDF de qualit´ e en ajoutant les guillemets fran¸ cais « et ». ? amsmath, amsthm, amsfonts,amssymb : extensions de American Mathema- tical Society qui fournissent un ensemble de commandes pour le mode ma- th´ ematique. ? babel : adapte les noms de chapitres, les dates et les autres textes ins´ er´ e par L A TEX dans la langue pass´ ee en option. ? color : pour l?utilisation de couleurs. 7 ? draftcopy : imprime le mot « DRAFT »en fond de page. ? epsfig : pour la gestion des graphiques au format eps. ? fancybox : ajoute plusieurs commandes d?encadrement de page. ? float : am´ eliore la gestion des ´ el´ ements ?ottants comme les tableaux et les ?gures. ? fontenc : avec l?option T1, autorise le compilateur ` a utiliser le nouveau for- mat d?encodage de fontes. Ce package est ` a utiliser syst´ ematiquement. ? graphics : fournit plusieurs commandes de manipulation des bo? ?tes et des graphiques. ? import : pour la gestion des sous-r´ epertoires. ? listing : pour l?a?chage optimis´ e des codes sources. ? minitoc : permet de construire une mini table des mati` eres au d´ ebut de chaque chapitre sous les classes book : et report. ? multirow : pour les cases de tableau sur plusieurs lignes. ? rotating : pour e?ectuer des rotations de tables, de ?gures et de l´ egendes. ? url : permet d?a?cher correctement des URLs. 2 Les bases 2.1 Caract` eres r´ eserv´ es Il existe un certain nombre de caract` eres r´ eserv´ es par L A TEX car ils introduisent une commande. Ils sont r´ esum´ es dans le tableau suivant. Tous les autres carac- t` eres peuvent ? etre utilis´ es librement. % Commentaire \ Commande {...} Bloc de traitement ~ Espace ins´ ecable $ Mode math´ ematique & Rep` ere d?alignement de tableau # param` etre d?une macro ^ et _ Mise en exposant et en indice 2.2 Caract` eres sp´ eciaux Les caract` eres cod´ es en ISO-8859-1 sont compris par le compilateur : les carac- t` eres accentu´ es usuels peuvent ? etre saisis directement. Il existe en revanche un certain nombre de caract` eres sp´ eciaux r´ esum´ es dans le tableau 1. ¨ o \"{o} ? o \.{o} ? o \u{o} ? c \v{c} ? o \H{o} ? oo \t{oo} ¸ c \c{c} o . \d{o} o ¯ \b{o} ¯ o \={o} ?, ? \oe, \OE ? \dag æ, Æ \ae, \AE ? \ddag ? a, ? A \aa, \AA § \S ø, Ø \o, \O ¶ \P l, L \l, \L c \copyright ß \ss £ \pounds ¿ ?? ? \i ¡ !? ? \j # \# $ \$ % \% & \& \_ { \{ } \} \ \textbackslash Tab. 1 ? Les caract` eres sp´ eciaux de L A TEX 8 2 LES BASES 2.3 Commandes usuelles \documentclass{...} D´ e?nit la classe de document \usepackage{...} Charge un package \title{...} Description du titre du document \author{...} Description de l?auteur \date{...} Date de r´ edation \maketitle Ecrit le titre \tableofcontents Ecrit la table des mati` eres \listoffigures Ecrit la liste des ?gures \listoftables Ecrit la liste des tableaux \TeX, \LaTeX, \LaTeXe TEX, L A TEX, L A TEX2? \verb!...! Mode verbatim en ligne ? voir §2.7.4 \begin{env}...\end{env} D´ elimitation du bloc d?environnement env 2.4 Espaces et retours ` a la ligne dans le fichier source Il faut faire attention avec l?utilisation des commandes car L A TEX ignore un espace qui suit imm´ ediatement la commande lors de son insertion dans le texte. Observez les deux exemples suivants : \LaTeX est g´ enial. L A TEXest g´ enial. \LaTeX\ est g´ enial. L A TEX est g´ enial. De plus, L A TEX consid` ere les retours chariots, les tabulations et une succession d?espaces vides comme un seul espace vide. Ainsi, en tapant : Ceci est un test sur les espaces. Ceci est un exemple de saut de ligne.\\ Ceci est le d´ ebut d?un nouveau paragraphe. on obtient : Ceci est un test sur les espaces. Ceci est un exemple de saut de ligne. Ceci est le d´ ebut d?un nouveau paragraphe. 2.5 Structure hi´ erarchique du document La structuration d?un document L A TEX se base sur l?utilisation de commandes de chapitrage. Elles seront totalement g´ er´ ees par L A TEX (notamment en ce qui concerne l?indentation et la num´ erotation). Les possibilit´ es de subdivisions sont r´ esum´ ees ci-dessous mais certaines ne sont utilisables qu?avec certains styles. \part{} % partie \chapter{} % chapitre \section{} % section \subsection{} % sous-section \subsubsection{} % sous-section (sous-section niveau 2) \paragraph{} % paragraphe (sous-section niveau 3) 2.6 Insertion de fichiers 9 \subparagraph{} % sous-paragraphe (sous-section niveau 4) \appendix % signale le d´ ebut des annexes Ne pas oublier de mettre le titre du chapitre, de la section, etc... entre les accolades. Il se peut qu?on veuille supprimer la num´ erotation propos´ ee par L A TEX. Pour cela, il su?t de placer le caract` ere ?*? avant le titre de la division. Ainsi, dans l?exemple suivant, le num´ ero de section est supprim´ e par la commande \section*{Remerciements}. 2.6 Insertion de fichiers Lorsque l?on r´ edige un long document, il n?est pas int´ eressant de travailler dans un seul ?chier. En e?et, le temps de sauvegarde devient plus long et la navigation n?y est pas toujours ais´ ee. On dispose alors des commandes suivantes : 1. \input{file} est remplac´ e par le contenu de file.tex; 2. \include{file} ins` ere le ?chier file.tex. \include ne peut appara? ?tre dans l?en-t? ete mais donne acc` es ` a \includeonly{file1,file2,...} qui, plac´ e dans l?en-t? ete, permet de restreindre la liste des ?chiers ` a ins´ erer. A noter que le package import fournit les commandes \subimport{dir/ }{file} ou \subincludefrom{dir/ }{file} permettant d?inclure le ?chier file.tex re- lativement au sous-r´ epertoire dir/. 2.7 Mise en page 2.7.1 Taille de caract` eres La taille des caract` eres est en premier lieu d´ e?nie par les options de style sp´ eci- ?´ ees au d´ ebut d?un document. En plus de cela, il existe 10 tailles que l?on peut sp´ eci?er par les commandes du tableau 2. \tiny Ce texte est tiny \scriptsize Ce texte est scriptsize \footnotesize Ce texte est footnotesize \small Ce texte est small \normalsize Ce texte est normalsize \large Ce texte est large \Large Ce texte est Large \LARGE Ce texte est LARGE \huge Ce texte est huge \HUGE Ce texte est Huge Tab. 2 ? Les tailles de caract` ere en L A TEX. Les exemples sont obtenus par une com- mande de la forme : {\sequence Ce texte est \texttt{sequence}} 10 2 LES BASES 2.7.2 Polices de caract` eres La police par d´ efaut de LaTeX est la police roman. D?autres polices sont ´ ega- lement disponibles pour mettre en ´ evidence certaines parties de texte. Tout est r´ esum´ e dans le tableau 3. On notera qu?il existe deux types de commande : 1. Les commandes ` a un argument, qui permettent de sp´ eci?er la mise en forme de brefs extraits (par \emph{test}); 2. Les commandes sans argument, qui fonctionnent comme les pr´ ec´ edentes mais qui peuvent ? etre utilis´ ees pour de plus longs extraits \textnormal{...} {\normalfont ...} Normal \textbf{...} {\bfseries ...} Gras \textit{...} {\itshape ...} Italic \textrm{...} {\rmfamily ...} Police Roman \textsf{...} {\sffamily ...} Police Sans serif \texttt{...} {\ttfamily ...} Police Typewriter \emph{...} {\em ...} Emphasize \textup{...} {\upshape ...} Upright \textsl{...} {\slshape ...} Slanted \textsc{...} {\scshape ...} Petites Capitale \textmd{...} {\mdseries ...} Medium series Tab. 3 ? Les polices de caract` ere en L A TEX 2.7.3 Alignements On distingue deux modes, soit en ligne, soit au sein d?un environnement pour les trois types d?alignements : {\centering ...} \begin{center}...\end{center} centr´ e {\raggedright ...} \begin{flushleft}...\end{flushleft} align´ e ` a gauche {\raggedleft ...} \begin{flushright}...\end{flushright} align´ e ` a droite 2.7.4 Texte litt´ eral L?environnement verbatim restitue exactement le texte d?entr´ ee (y compris les retours ` a la ligne) sans interpr´ eter aucune commande ni caract` ere sp´ ecial. La police utilis´ ee est de type typewriter et ´ evidemment, aucune optimisation d?a?chage n?est e?ectu´ e. A droite ?gure l?a?chage du bloc de gauche : \begin{verbatim} Test avec la commande \LaTeX et un retour ` a la ligne \end{verbatim} Test avec la commande \LaTeX et un retour ` a la ligne Il existe un mode « en ligne »de cet environnement introduit par la commande \verb dont la syntaxe est un peu particuli` ere. Cette commande prend en ar- gument le texte ` a a?cher, d´ elimit´ e par une paire de caract` eres identiques (` a l?exception de l?espace, de * et d?une lettre). Ainsi les commandes \verb-truc~bidule- et \verb!truc~bidule! produisent le m? eme texte truc~bidule. 2.8 Les listes 11 2.7.5 Texte soulign´ e On souligne un texte au moyen de la commande \underline{...}. Ainsi \underline{Texte soulign´ e} produit Texte soulign´ e. 2.7.6 Espacements et sauts Les di?´ erentes fa¸ con de caract´ eriser les espaces et les sauts sont r´ esum´ es dans le tableau 4. ? espace \, petit espace ~ espace ins´ ecable \\ saut de ligne \newline saut de ligne \\[h] ` a la ligne avec h d?interligne \hspace{l} espace horizontal de l, ignor´ e sur un saut de ligne \vspace{h} espace vertical de h, ignor´ e sur un saut de page \hspace*{l} espace horizontal de l \vspace*{h} espace vertical de h \smallskip petit espace vertical \medskip espace vertical moyen \bigskip grand espace vertical \hfill espace ´ elastique horizontal \vfill espace ´ elastique vertical \hrulefill ligne ´ elastique horizontale \dotfill ligne de points ´ elastiques ho- rizontaux Tab. 4 ? Caract´ erisation des espacements et des sauts de page dans L A TEX Pour les sauts de page, on utilise la commande \newpage, les commandes \clearpage et \cleardoublepage faisant la m? eme chose en forcant l?impres- sion des ?gures et des tables (et en commencant ´ eventuellement sur une page impaire). 2.7.7 En-t? ete et pied de page On peut param´ etrer les en-t? etes et pieds de page ` a l?aide des commandes sui- vantes : \pagestyle{style} d´ e?nit en pr´ eambule le style des pages du document \thispagestyle{style} d´ e?nit le style de la page courante \markright{configd} d´ e?nit l?en-t? ete droit pour le style myheadings \markboth{configd}{configg} d´ e?nit les en-t? etes gauches et droits pour le style myheadings Par d´ efaut, L A TEX o?re la num´ erotation des pages en bas de page (style plain). On dispose de trois autres styles de mise en page : ? empty : hauts et bas de pages vides ; ? headings : la num´ erotation des pages appara? ?t en haut avec di?´ erentes in- formations d´ ependant de la classe de document ; ? myheadings : pour une con?guration personnalis´ ee ` a partir des commandes \markright et \markboth. 2.8 Les listes L A TEX fournit les environnements suivants pour g´ erer les listes : ? enumerate pour les listes num´ erot´ ees ; ? itemize pour les listes non num´ erot´ ees ; 12 2 LES BASES ? description pour les description. Voici quelques exemples d?utilisation (` a droite ?gure le r´ esultat du code de gauche) : \begin{itemize} \item Premier ´ el´ ement \item[?] Une ´ etoile \item[\textbullet] Un point \item Dernier ´ el´ ement \end{itemize} ? Premier ´ el´ ement * Une ´ etoile ? Un point ? Dernier ´ el´ ement \begin{enumerate} \item Premier ´ el´ ement \item Dernier ´ el´ ement \end{enumerate} 1. Premier ´ el´ ement 2. Dernier ´ el´ ement \begin{description} \item[element1] Def1 \item[element2] Def2 \end{description} element1 Def1 element2 Def2 2.9 Les r´ ef´ erences crois´ ees Dans un document, on d´ esire souvent se r´ ef´ erer ` a un num´ ero de page, de section, de ?gure ou de tableau. On parle alors de r´ ef´ erence crois´ ee. Pour cr´ eer une ´ etiquette, il su?t de placer la commande \label{...} dans l?environnement que l?on souhaite r´ ef´ erer. Exemple : \section{test} \label{sec:test} \begin{table} ... \label{tab:mytab} \end{table} La r´ ef´ erence ` a une ´ etiquette positionn´ ee dans le texte s?e?ectue avec la com- mande \ref{...} (la commande \pageref{...} permettant de r´ ef´ erencer un num´ ero de page). Si on reprend l?exemple pr´ ec´ edent, on peut r´ ef´ erencer la sec- tion test et le tableau par : Dans la section?\ref{sec:test }, page?\pageref{sec:test}, on a montr´ e... Le tableau?\ref{tab:toto} r´ esume... L?utilisation d?un espace ins´ ecable introduit par ~ est conseill´ e pour ´ eviter les c´ esures qui peuvent limiter la lisibilit´ e du texte. 2.10 Les notes en bas de page La commande \footnote{...} permet d?ajouter une note en bas de page. Ainsi, le texte suivant : Un exemple de note en bas de page\footnote{la note en bas de page.}. Ici , la suite ... produit : 13 Un exemple de note en bas de page9. Ici, la suite... 3 Tableaux et figures en L A TEX Les tables et les ?gures sont des ´ el´ ements ?ottants d´ e?nis dans les environ- nements table et figure. Ils sont g´ en´ eralement munis d?une l´ egende et d?un indicateur de positionnement pass´ e en option qui peut prendre les valeurs com- binables suivantes (tbp par d´ efaut) : Position Signification h here : placement au mieux , l` a ou l?´ el´ ement appara? ?t dans le texte (´ eventuellement sur la page suivante s?il occupe un trop grand espace jusqu?` a la ?n de la page) H HERE : placement exactement l` a o` u appara? ?t la d´ e?nition dans le texte t top : en haut d?une page de texte b bottom : en bas d?une page de texte p page of float : sur une page ` a part qui ne contient aucun texte Ces ´ el´ ements sont g´ en´ eralement centr´ es et munis d?une l´ egende. Une d´ ecla- ration typique d?une table ou d?une ?gure prendra donc la forme suivante : \begin{table}[ht] \centering ... % D´ efinition du tableau en soi \caption{L´ egende du tableau} \label{tab:myTab} \end{table} Le tableau?\ref{tab:myTab} montre... \begin{?gure}[ht] \centering ... % D´ efinition de la figure en soi \caption{L´ egende de la ?gure} \label{?g:myFig} \end{?gure} La ?gure?\ref{?g :myFig} illustre ... Les environnements \table* et figure* produisent des ´ el´ ements sur deux co- lonnes si la classe de document de permet. 3.1 D´ efinition de tableaux dans l?environnement tabular L?environnement tabular (ou array pour le mode math´ ematique : voir §4) permet de cr´ eer des tableaux horizontaux ou verticaux et L A TEX d´ etermine au- tomatiquement la taille des colonnes10. La syntaxe est la suivante : \begin{tabular}[pos]{cols} ligne1 \\ ligne2 \\ ... \end{tabular} L?option pos d´ e?nit Les options de positionnement pour l?alignement du tableau similaires ` a celles de l?environnement table; L?argument cols con?gure le for- 9 la note en bas de page. 10 Plus pr´ ecis´ ement, un tableau est consid´ er´ e comme une ?bo? ?te? et doit donc ? etre plus petit qu?une page. 14 3 TABLEAUX ET FIGURES EN L A TEX mat des colonnes. Chaque caract` ere correspond ` a une colonne ou une s´ eparation de colonne : ? l : une colonne o` u les ´ el´ ements sont align´ es ` a gauche ; ? r : une colonne o` u les ´ el´ ements sont align´ es ` a droite ; ? c : une colonne o` u les ´ el´ ements sont centr´ es ; ? | : une ligne verticale entre deux colonnes ; ? @{decl} : remplace l?espace inter-colonne par decl (en mode texte ou math´ e- matique suivant que l?on est dans un tabular ou un array; ? !{decl} : ´ equivalent ` a @ mais ne supprime pas l?espace inter-colonne ; ? p{larg} : produit une colonne de largeur larg (une longueur). Le texte contenu sera automatiquement remis ` a la ligne et align´ e ` a gauche ? pour le centrer, il convient d?appliquer la commande \centering aux cellules concern´ ees ; ? *{num}{cols} est remplac´ e par num fois le contenu de cols ; ? >{decl} : suivi de l,r,c ou p : ins` ere decl ` a gauche de la colonne ; ? <{decl} : apr` es l,r,c ou p : ins` ere decl ` a droite de la colonne ; Chaque ligne est une s´ equence d?´ el´ ements s´ epar´ es par & et il doit y avoir le m? eme nombre d?´ el´ ements que de colonnes sp´ eci?´ ees par le param` etre cols. La commande \hline trace une ligne horizontale (´ eventuellement, \cline{i-j} permet de ne tracer la ligne que de la colonne i ` a la colonne j). Exemple : \begin{tabular}{|c||l@{ $\rightarrow$ }r|} \hline \textbf{Col1} & Col2 & Col3\\ \hline\hline 10 & 11 & 12\\ 9 & 14 & 27\\ \hline \end{tabular} Col1 Col2 ? Col3 10 11 ? 12 9 14 ? 27 3.1.1 Fusion de cellules Il est possible de fusionner plusieurs colonnes ` a l?aide de la commande \multicolumn{num}{cols}{texte}. num pr´ ecise alors le nombre de cellules ` a fusionner, cols le format de la colonne et texte correspond au texte ` a ´ ecrire dans la cellule. La fusion de plusieurs ligne n´ ecessite le package multirow et la commande du m? eme nom \multirow{num}{l}{texte} qui prend donc trois param` etres : le nombre de lignes ` a fusionner, la largeur de la cellule et en?n le texte ` a inclure. Exemple : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \multirow{2}{1.5cm}{\centering Fruit} & \multicolumn{3}{c|}{Vente}\\ \cline{2?4} & 1995 & 1996 & 1997 \\\hline Poire & 6.5 & 7.8 & 7.2 \\ Pomme & 15 & 16 & 15.5 \\ Prune & 7.8 & 9 & 9.2 \\\hline \end{tabular} Fruit Vente 2000 2005 2010 Poire 6.5 7.8 7.2 Pomme 15 16 15.5 Prune 7.8 9 9.2 3.2 Insertion d?images 15 3.1.2 Ajout d?une barre oblique Il est courant de pr´ esenter un tableau avec une barre oblique s´ eparant la des- crition de la premi` ere colonne et de la premi` ere ligne. On utilise pour cela la commande \backslashbox{g}{d} du package slashbox. Exemble : \begin{tabular}[h]{|l|c|c|c|} \hline \backslashbox{Type}{Ann´ ee} & 1 & 2\\ \hline \hline Poire & 15 & 10 \\ Pomme & 10 & 17 \\ \hline \end{tabular} PPPPPPPP P Type Ann´ ee 1 2 Poire 15 10 Pomme 10 17 3.1.3 Ajout de cellules color´ ees Il est possible de colorer le fond d?une ligne (respectivement d?une colonne) d?un tableau ` a l?aide des commandes \rowcolor[model]{value} (respective- ment >\columncolor[model]{value} dans la d´ eclaration du tableau (avant un c, r, l ou autre) d´ e?nies dans le package colortbl. Comme pour la d´ e?nition de couleurs (voir §5.2) model peut prendre les valeurs rgb, gray ou cmyk. va- lue repr´ esente les coordonn´ ees de la couleur souhait´ ee dans le mod` ele choisi. Exemple : \begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline \rowcolor[gray]{0.8} Type & 1 & 2 \\ \hline \hline Poire & 15 & 10 \\ Pomme & 10 & 17 \\ \hline \end{tabular} Type 1 2 Poire 15 10 Pomme 10 17 \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}l|c|c|c|} \hline Type & 1 & 2 \\ \hline \hline Poire & 15 & 10 \\ Pomme & 10 & 17 \\ \hline \end{tabular} Type 1 2 Poire 15 10 Pomme 10 17 3.2 Insertion d?images Une premi` ere fa¸ con de faire est d?utiliser la commande \includegraphics propos´ ee par le package graphics Quelques options permettent de modi?er l?´ echelle, la largeur, la hauteur de l?image ou d?appliquer une rotation : ? [scale=0.3] : ?xe l?´ echelle de l?image ` a 30% ; ? [width=5cm] : ?xe la largeur de l?image ` a 5 cm ; ? [height=3cm] : ?xe la hauteur ` a 3 cm 16 4 LES MATHS ET L A TEX ? [angle=45] : applique une rotation de 45 degr´ es Exemple : \includegraphics[width=7cm,height=50mm]{Images/?le.jpg} Une autre fa¸ con de faire est sp´ eci?que aux images EPS g´ en´ er´ ees par exemple avec l?outil de dessin vectoriel xfig11. On utilise alors la commande \epsfig propos´ ee par le package du m? eme nom. La syntaxe est l´ eg` erement di?´ erente comme en t´ emoigne l?exemple suivant : \begin{?gure}[H] \centerline {\eps?g { ?le =Images/hash1.eps,width=6cm}} \caption{Fonction de compression d?une fonction de hachage} \label{?g:hash1} \end{?gure} La ?gure?\ref{?g :hash1} montre... qui produit comme r´ esultat : h i?1 h i (ex : 512 bits pour MD5, SHA) (de taille n) (de taille n) Bloc i de taille b h Fig. 1 ? Fonction de compression d?une fonction de hachage La ?gure 1 montre... ` A noter qu?on peut utiliser la macro \textwidth dans la d´ e?nition de la lar- geur d?une image au lieu de pr´ eciser directement une taille en centim` etre. Par exemple, l?option [width=0.75\textwidth] permet de sp´ eci?er une largeur ´ egale ` a 75% de la largeur du texte. 4 Les maths et L A TEX C?est la vraie raison du succ` es de L A TEX, qui permet une ´ ecriture ais´ ee et rigou- reuse de formules math´ ematiques. Il est conseill´ e d?utiliser les packages addi- tionnels amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb qui facilitent la vie. Cette section d´ etaille le g´ en´ eration de formules math´ ematiques avec L A TEX. 4.1 Le mode math´ ematiques Pour ´ ecrire des formules et/ou des symboles math´ ematiques, il faut d?abord passer en mode math´ ematiques. On distingue principalement deux m´ ethodes12 : 1. $...$ ou \(...\) : la formule fait partie d?un texte. 11 http://www.xfig.org/ 12 On peut revenir au mode texte dans le mode math´ ematique par la commande \text{...}. 4.2 Polices de caract` eres sp´ ecifiques 17 2. \[...\] : le formule est mise en ´ evidence : il y a un saut de ligne et la formule est centr´ ee. Exemple : Soit $\epsilon > 0$ un seuil arbitraire : \[ \forall \alpha \geq \epsilon, f(\alpha) < \frac{1}{2} \] Soit ? > 0 un seuil arbitraire : ?? ? ?, f(?) < 1 2 4.2 Polices de caract` eres sp´ ecifiques \mathbb{...} Alphabet blackboard : ABC . . . N . . . Z \mathcal{...} Alphabet calligraphi´ e : ABC . . . \mathfrak{...} Alphabet Euler Fraktur : ABC . . . abc . . . 123 . . . \mathbf{...} Gras \mathit{...} Italic \mathrm{...} Police roman \mathsf{...} Police Sans serif \mathtt{...} Police Typewriter 4.3 Symboles sp´ eciaux 4.3.1 Caract` eres et constructions sp´ eciaux ? a \hat{a} ´ a \acute{a} ¯ a \bar{a} ? a \dot{a} ? a \breve{a} ? a \check{a} ` a \grave{a} a \vec{a} ¨ a \ddot{a} ? a \tilde{a} ? ? abc \overleftarrow{abc} ? ? abc \overrightarrow{abc} abc \overline{abc} abc \underline{abc} abc \widetilde{abc} abc \widehat{abc} abc ? ? ? \xrightarrow{\text{abc}} abc ? ? ? \xleftarrow{\text{abc}} abc \overbrace{abc} abc \underbrace{abc} 4.3.2 Les lettres grecques Elles sont obtenues ` a partir du nom de la lettre pr´ ec´ ed´ e par un antislash \. Certaines poss` edent une variante pr´ e?x´ ee par \var. ? \alpha ? \theta ? \pi ? \phi ? \beta ? \vartheta ? \varpi ? \varphi ? \gamma ? \iota ? \rho ? \chi ? \delta ? \kappa ? \varrho ? \psi ? \epsilon ? \lambda ? \sigma ? \omega ? \varepsilon µ \mu ? \varsigma ? \zeta ? \nu ? \tau ? \eta ? \xi ? \upsilon Certaines lettres existent sous forme majuscule : 18 4 LES MATHS ET L A TEX ? \Gamma ? \Xi ? \Phi ? \Delta ? \Pi ? \Psi ? \Theta ? \Sigma ? \Omega ? \Lambda ? \Upsilon 4.3.3 Symboles math´ ematiques Symboles divers. ? \aleph ? \prime ? \forall \hbar ? \emptyset ? \exists ? \imath ? \nabla ¬ \neg ou \lnot ? \jmath ? \surd ? \flat ? \ell ? \top ? \natural ? \wp ? \bot ? \sharp ? \Re \| ? \clubsuit ? \Im ? \angle ? \diamondsuit ? \partial ? \triangle ? \heartsuit ? \infty \ \backslash ? \spadesuit Symboles de tailles variables et d´ elimiteurs. \sum \oint \bigvee \bigodot \prod \bigcap \bigwedge \bigotimes \coprod \bigcup \bigoplus \int \bigsqcup \biguplus { \{ ( ( \| { \lbrace } \} ) ) | | } \rbrace [ \lbrack ? \lfloor ? \lceil \langle ] \rbrack ? \rfloor ? \rceil \rangle Les d´ elimiteurs encadrent une expression entre \leftdelimiteur et \rightdelimiteur (le d´ elimiteur « . » sert alors de d´ elimiteur vide). Op´ erations binaires. ± \pm ? \cap ? \vee ou \lor ? \mp ? \cup ? \wedge ou \land \ \setminus ? \uplus ? \oplus · \cdot ? \sqcap ? \ominus × \times ? \sqcup ? \otimes ? \ast ? \triangleleft ? \oslash ? \star ? \triangleright ? \odot ? \diamond ? \wr ? \dagger ? \circ \bigcirc ? \ddagger ? \bullet ? \bigtriangleup ? \amalg ÷ \div ? \bigtriangledown Relations. 4.3 Symboles sp´ eciaux 19 ? \leq ou \le ? \geq ou \le ? \equiv ? \prec ? \succ ? \sim \preceq \succeq ? \simeq ? \ll ? \gg ? \asymp ? \subset ? \supset ? \approx ? \subseteq ? \supseteq ? = \cong ? \sqsubseteq ? \sqsupseteq ?? \bowtie ? \in ? \ni ou \owns ? \propto ? \vdash ? \dashv |= \models ? \smile | \mid . = \doteq ? \frown \parallel ? \perp Relations contraires. Elles sont g´ en´ eralement obtenues en pr´ e?xant la re- lation par \not. < \not< > \not> = \not= ou \neq ? \not\leq ? \not\geq ? \not\equiv ? \not\prec ? \not\succ ? \not\sim \not\preceq \not\succeq ? \not\simeq ? \not\subset ? \not\supset ? \not\approx ? \not\subseteq ? \not\supseteq ? = \not\cong ? \not\sqsubseteq ? \not\sqsupseteq ? \not\asymp Fl` eches et pointill´ es. ? \leftarrow ou \gets ? \rightarrow ou \to ?? \longleftarrow ?? \longrightarrow ? \Leftarrow ? \Rightarrow ?= \Longleftarrow =? \Longrightarrow ? \leftrightarrow ? \Leftrightarrow ?? \longleftrightarrow ?? \Longleftrightarrow ou \iff ?? \hookleftarrow ?? \hookrightarrow ? \leftharpoonup ? \rightharpoonup ? \leftharpoondown ? \rightharpoondown ? \uparrow ? \downarrow ? \Uparrow ? \Downarrow \updownarrow \Updownarrow ? \nearrow ? \nwarrow ? \searrow ? \swarrow ? \mapsto ?? \longmapsto ? \leftrightharpoons ? \rightleftharpoons \curvearrowleft \curvearrowright . . . \ldots · · · \cdots . . . \vdots ... \ddots 4.3.4 Fonctions standards (sin, cos etc...) Certaines abreviations/fonctions standards existent d´ ej` a en L A TEX. Ainsi, on peut obtenir : cos(? + ?) = cos ? cos ? ? sin ? sin ? en tapant 20 4 LES MATHS ET L A TEX \[ \cos(\theta + \phi) = \cos \theta \cos \phi ? \sin \theta \sin \phi \] Voici la liste des s´ equences ` a utiliser : \arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh \arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup \arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan \arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh 4.4 Structures courantes 4.4.1 Indices et exposants Un indice s?obtient ` a l?aide de _ et un exposant avec ^. Exemple : xi x_i xi x^i xj?1 i?1 x_{i-1}^{j-1} xun x_{u_n} 4.4.2 Fractions La commande \frac{num}{den} produit une fraction de num´ erateur num et de d´ enominateur den. Exemple : $\frac{1}{2}$ dans une phase. Sinon: \[ \frac{3x+1}{1?x?2} \] 1 2 dans une phase. Sinon : 3x + 1 1 ? x2 ` A noter que la plupart des fractions ´ ecrites au sein d?une phrase ont un meilleur rendu lorsqu?elles sont pr´ ec´ ed´ ees de la commande \displaystyle. Exemple : $\displaystyle\frac{1}{2}$ dans une phase. 1 2 dans une phase. \dfrac est un raccourci ` a la s´ equence \displaystyle\frac. En?n, on utilise la commande \cfrac pour les fractions continu´ ees : \[ \cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1}}}} \] 2 1 + 2 1 + 2 1 4.4.3 Racines On utilise la commande \sqrt{...}. Exemple : ? 1 ? x2 \sqrt{1-x^2} 3 1 1?x2 \sqrt[3]{\frac{1}{1-x^2}} 1 + 1 + ? 1 + · · · \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}} 4.4 Structures courantes 21 4.4.4 Points de suspension L A TEX propose quatre types de points de suspension : \ldots . . . \cdots · · · \vdots . . . \ddots ... La commande \ldots peut s?utiliser ´ egalement en mode texte. La distinction entre \ldots et \cdots est la hauteur sur la ligne, comme le montre l?exemple suivant : x_1,\ldots,x_n x1, . . . , xn x_1+\cdots+x_n x1 + · · · + xn 4.4.5 Int´ egrales On utilise le mot cl´ e \int. Exemple (\, permet d?obtenir un espace suppl´ emen- taire : voir §4.6.2) : \[ \int 0?{+\infty} x?n e?{?x}\,dx = n! \] +? 0 xn e?x dx = n! Pour les int´ egrales multiples, on peut utiliser \ ! pour produire des espaces n´ egatifs et am´ eliorer la lisibilit´ e. Exemple : \[ \int \int D f(x,y)\,dx\,dy = \int \!\!\!\int D f(x,y)\,dx\,dy \] D f(x, y) dx dy = D f(x, y) dx dy 4.4.6 Sommes et produits Il faut alors utiliser les commandes \sum et \prod. Exemple : \[ \sum {k=1}?n k = \frac{n(n+1)}{2} \text{?et?} \prod {k=1}?n(1?a?k) \] n k=1 k = n(n + 1) 2 et n k=1 (1?ak ) 4.4.7 Limites, inf, sup Ces expressions sont obtenues gr? ace aux commandes \lim, \inf et \sup. Ainsi, \lim_{x \to +\infty}, \inf_{x > s} et \sup_K produiront respecti- vement : lim x?+? , inf x>s et sup K 4.4.8 D´ eriv´ ees et d´ eriv´ ees partielles \[ \frac{du}{dt} \text{ et } \frac{d?2 u}{dx?2} \] du dt et d2u dx2 22 4 LES MATHS ET L A TEX Le symbole de d´ eriv´ ee partielle ? est produit par \partial. Ainsi, l?´ equation de di?usion de la chaleur ?u ?t = ?2u ?x2 + ?2u ?y2 + ?2u ?z2 est obtenue en tapant : \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial?2 u}{\partial x?2} + \frac{\partial?2 u}{\partial y?2} + \frac{\partial?2 u}{\partial z?2} \] 4.4.9 Modulos Il existe plusieurs commandes pour a?cher les calculs modulaires : 9\equiv 3 \bmod{6} 9 ? 3 mod 6 9\equiv 3 \pmod{6} 9 ? 3 (mod 6) 9\equiv 3 \mod{6} 9 ? 3 mod 6 9\equiv 3 \pod{6} 9 ? 3 (6) 4.4.10 Coefficients binomiaux On utilise la commande \binom{n}{k}. Exemple : \[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \] n k + n k + 1 = n + 1 k + 1 4.4.11 Matrices et tableaux On utilise l?environnement array et sa gestion est similaire ` a celle des tableaux du mode texte (voir §3, page 13). Par exemple : Le polyn? ome caract´ eristique ?(?) de la matrice 3 × 3 : ? ? a b c d e f g h i ? ? est donn´ e par la formule ?(?) = ? ? a ?b ?c ?d ? ? e ?f ?g ?h ? ? i . Ce passage est produit par : 4.4 Structures courantes 23 Le \emph{polyn? ome caract´ eristique} $\chi(\lambda)$ de la matrice $3 \times 3$: \[ \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right) \] est donn´ e par la formule \[ \chi(\lambda) = \left| \begin{array}{ccc} \lambda ? a & ?b & ?c \\ ?d & \lambda ? e & ?f \\ ?g & ?h & \lambda ? i \end{array} \right|.\] A noter l?utilisation des mots cl´ es \left (respectivement \right) suivi d?un d´ elimiteur ouvrant (respectivement fermant) (d´ e?ni dans le §4.3.3). Ces deux s´ equences sont indissociables. On peut remplacer un d´ elimiteur par un point ?.? pour sp´ eci?er l?absence de d´ elimiteur. Un exemple sera sans doute plus parlant : \[ \left| 4 x?3 + \left( x + \frac{42}{1+x?4} \right) \right|.\] \[ \left. \frac{du}{dx} \right| {x=0}.\] produit : 4x3 + x + 42 1 + x4 . du dx x=0 . Le package amsmath propose ´ egalement des environements d´ edi´ es aux matrices, plus pr´ ecis´ ement pmatrix, bmatrix, Bmatrix, vmatrix et Vmatrix. Ils int` egrent di?´ erents d´ elimiteurs, respectivement (), [], {}, || et . Exemple : \[ \begin{pmatrix} a {1,1} & a {1,2} & \dots & a {1,n}\\ a {2,1} & a {2,2} & \dots & a {2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a {n,1} & a {n,2} & \dots & a {n,n}\\ \end{pmatrix} \] ? ? ? ? ? a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n . . . . . . ... . . . an,1 an,2 . . . an,n ? ? ? ? ? 4.4.12 Normes Elles sont obtenues par \|. Exemple : Soit $X$ un espace de Banach et soit $f \colon B \to \mathbb{R}$ un fonction lin´ eaire born´ ee sur $X$. La \emph{norme} de $f$, not´ ee $\|f\|$, est d´ e?nie par: \[ \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : | f(x)| \leq K \|x\| \,\forall x \in X \}.\] 24 4 LES MATHS ET L A TEX produit : Soit X un espace de Banach et soit f : B ? R un fonction lin´ eaire born´ ee sur X. La norme de f, not´ ee f , est d´ e?nie par : f = inf{K ? [0, +?) : |f(x)| ? K x ?x ? X}. 4.4.13 Les ´ equations Sur une seule ligne On utilise l?environnement equation : \begin{equation}\label{eq:test} f(x) + g(x) = \frac{1}{x?1} \end{equation} L?´ equation?\ref{eq:test }... f(x) + g(x) = 1 x ? 1 (1) L?´ equation 1... Comme toujours, on peut supprimer la num´ erotation en utilisant \begin{equation*}...\end{equation*} (ou simplement ´ ecrire la formule :-) Sur plusieurs lignes, align´ ees On utilise alors l?environnement \equarray* : \begin{eqnarray?} \cos 2\theta & = & \cos?2 \theta ? \sin?2 \theta \\ & = & 2 \cos?2 \theta ? 1. \end{eqnarray?} produit : cos 2? = cos2 ? ? sin2 ? = 2 cos2 ? ? 1. On aura compris que cela marche comme un tableau. Sans le caract` ere ?*?, chaque ligne sera num´ erot´ ee. 4.4.14 Les alternatives conditionnelles \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 4x?2?3 & \mbox{ si $x \ge 0$}\\ x?2?2x?4 & \mbox{ si $x < 0$} \end{array} \right. \] f(x) = 4x2 ? 3 si x ? 0 x2 ? 2x ? 4 si x < 0 On peut aussi utiliser le package amsmath et l?environnement cases : \begin{equation?} |x|= \begin{cases} ?x & \text{si $x$ est impair} \\ x & \text{si $x$ est pair ou nul} \end{cases} \end{equation?} |x| = ?x si x est impair x si x est pair ou nul 4.5 Les ensembles math´ ematiques 25 4.5 Les ensembles math´ ematiques Il existe deux fa¸ cons d?obtenir l?´ ecriture des ensembles math´ ematiques : 1. En utilisant les fonts AMS. Pour cela, il faut ins´ erer les packages AMS dans l?en-t? ete du document par \usepackage{amsmath,amssymb}. puis utiliser la commande \mathbb{}. Ainsi, R obtenu au choix par \mathbb{R} ou par \R (apr` es avoir red´ e?ni cette commande en en-t? ete par \newcommand{\R}{\mathbb{R}}. 2. Sans disposer des packages AMS : il faut alors d´ e?nir les commandes suivantes dans l?en-t? ete du document : pour les naturels : \def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}} pour les entiers : \def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}} pour les reels : \def\R\mbox{I\hspace{-.15em}R}} pour les complexes : \def\C{\mbox{l\hspace{-.47em}C}} Ensuite, il su?t d?appeler $\N$, $\R$ etc... 4.6 Polices de caract` eres en mode math´ ematiques Toutes les polices de caract` eres vues dans le §2.7.2, page 10 ont leur ´ equivalent dans le mode math´ ematique. On utilisera ainsi \mathbf{} au lieu de \textbf{}. Exemple : Soient $\vec{\mathbf{u}}$,$\vec{\mathbf{v}}$ et $\vec{\mathbf{w}}$ trois vecteurs de ${\mathbb R}?3$. Le volume?$V$ du parall´ el´ epip` ede .... est donn´ e par la formule: \[ V = (\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}) \cdot \vec{\mathbf{w}}. \] produit : Soient u,v et w trois vecteurs de R3. Le volume V du parall´ el´ epip` ede .... est donn´ e par la formule : V = (u × v) · w. Il existe ´ egalement une police de caract` ere ?calligraphique? (r´ eserv´ ee aux lettres majuscules) qui s?obtient par la s´ equence \mathcal{}. Ex : ABCDEFGHIJ KLMNOPQRST UVWXYZ. 4.6.1 Accentuations en mode math´ ematique Elles sont r´ esum´ ees dans le tableau 5. 4.6.2 Les espaces en mode math´ ematique L A TEX ignore compl` etement les espaces dans les formules math´ ematiques. Plus exactement, il adapte lui-m? eme les espaces. Dans certains cas, il est utile d?aug- menter l?espace et dans d?autres de le diminuer. Pour cela, L A TEX o?re quatres 26 4 LES MATHS ET L A TEX a \underline{a} ? a \hat{a} a \overline{a} ? a \check{a} ? a \tilde{a} ´ a \acute{a} ` a \grave{a} ? a \dot{a} ¨ a \ddot{a} ? a \breve{a} ¯ a \bar{a} a \vec{a} Tab. 5 ? Les accentuation en mode math´ ematique commandes : \, (petit espace), \: (espace moyen), \ ! (petit espace n´ egatif) et \; (espace large). Remarque : un espace n´ egatif est utilis´ e pour rapprocher les signes d?int´ egration d?une int´ egrale Sinon, il faut aussi l?utilisation de \mbox{} ou \text{} qui permet de revenir temporairement en mode texte au sein d?une formule math´ ematique. Voir les exemples fournis en §4.4.14, page 24. 4.7 Th´ eor` emes, propositions, d´ efinitions etc... Le plus simple est d?utiliser la package amsthm. Ensuite, on d´ e?nit de nouveaux environnements par le mot cl´ e \newtheorem dans l?en-tete (voir §1.4, page 5) : %pour les propositions , lemmes etc.... Utilise le package amsthm \newtheorem{theoreme}{Th´ eor` eme}[section] \newtheorem{proposition}{Proposition}[section] Le param` etre [section] pr´ ecise que l es th´ eoremes seront num´ erot´ es avec le nu- m´ ero de section en pre?xe (donc de la forme <numero section>.<num´ ero th´ eor` eme>). On peut alors dans le document cr´ eer un th´ eor` eme par : \begin{theoreme}[Crit` ere d?Euler] \label{theo:crit euler} Soit $p$ un nombre premier impair. $x$ est un r´ esidu quadratique si, et seulement si \[ x?{(p?1)/2} \equiv 1 [p] \] \end{theoreme} \begin{proof} La preuve est ` a faire en exercice :?) \end{proof} Comme le montre le th´ eoreme?\ref{theo:crit euler}... ce qui produit : Th´ eor` eme 4.1 (Crit` ere d?Euler). Soit p un nombre premier impair. x est un r´ esidu quadratique si, et seulement si x(p?1)/2 ? 1[p] D´ emonstration. La preuve est ` a faire en exercice :-) 4.8 Division Euclidienne de polyn? omes 27 Comme le montre le th´ eoreme 4.1... Remarques : ? on aura compris que pour ´ ecrire une proposition, il su?ra de taper \begin{proposition}...\end{proposition}. ? On peut utiliser \newtheorem pour des d´ e?nitions num´ erot´ ees. On d´ e?nit l?environnement en en-t? ete par : \newtheorem{de?nition}{D´ e?nition}[section] Ensuite, la s´ equence \begin{de?nition}\label{def:indice coincidence} Soit $x=x 1x 2\ldots x n$ et $y=y 1y 2\ldots y {n?}$ deux cha? ?nes de longueurs respectives $n$ et $n?$.\\ L?\textbf{indice de co¨ ?ncidence mutuel} de $x$ et $y$, not´ e $MI c(x,y)$, est la probabilit´ e qu?un caract` ere al´ eatoire de $x$ soit ´ egal ` a un caract` ere al´ eatoire de $y$. \end{de?nition} A partir de la d´ e?nition ?\ref{def:indice coincidence }... produira : D´ efinition 4.1. Soit x = x1x2 . . . xn et y = y1y2 . . . yn? deux cha? ?nes de longueurs respectives n et n?. L?indice de co¨ ?ncidence mutuel de x et y, not´ e MIc(x, y), est la probabilit´ e qu?un caract` ere al´ eatoire de x soit ´ egal ` a un caract` ere al´ eatoire de y. A partir de la d´ e?nition 4.1... 4.8 Division Euclidienne de polyn? omes R´ ecemment, il m?a ´ et´ e demand´ e une fa¸ con de r´ ealiser en L A TEX l?´ ecriture d´ e- taill´ ee d?une division euclidienne de deux polyn? omes. L?exemple suivant devrait se passer de commentaires et d´ etaille la division du polyn? ome X3 + X + 1 par X + 1. X3 + X + 1 X + 1 ?(X3 + X2) X2 ? X + 2 ?X2 + X ?(?X2 ? X) 2X + 1 ?(2X + 2) ?1 Ce r´ esultat est optenu ` a partir du code suivant : \[ \begin{array}{rcrcrcrc|c} X?3 &+& & & X &+& 1 & & X + 1 \\\cline{9?9} ?(X?3 &+& X?2) & & & & & & X?2 ? X + 2 \\\cline{1?3} & & ?X?2 &+& X & & & & \\ 28 5 ASPECTS AVANC´ ES & & ?(?X?2 &?& X) & & & & \\\cline{3?5} & & & & 2X &+& 1 & & \\ & & & &?(2X &+& 2) & & \\\cline{5?7} & & & & & & ?1 & & \end{array} \] Remarque : La commande cline est initialement pr´ esent´ ee au §3. 5 Aspects avanc´ es 5.1 Bibliographies Un rapport contient g´ en´ eralement une bibliographie et des citations. La fa¸ con la plus rigoureuse de g´ erer les entr´ ees bibliographiques est d?utiliser l?outil de gestion de base bibliographique et de citation BibTeX et nous y reviendrons au §5.1.2. Sinon, on peut cr´ eer les entr´ ees bibliographiques directement dans le corps du document comme indiqu´ e dans le paragraphe suivant. 5.1.1 Cr´ eation dynamique des entr´ ees bibliographiques On englobe toutes les entr´ ees dans l?environnement thebibliography (plac´ e ` a la ?n du document) qui re¸ coit en argument le nombre maximum d?entr´ ees contenues. Ensuite, chaque entr´ ee est introduite par la commande \bibitem[label]{clef } o` u label d´ e?nit le label qui appara? ?tra dans la bibliographie et dans le texte apr` es l?appel de la commande \cite{clef}. Exemple : \begin{thebibliography}{99} \bibitem[label]{cle} Auteur, TITRE, ´ editeur, ann´ ee \bibitem[STI96]{stinson96} Douglas Stinson, \\ {\it Cryptographie, Th´ eorie et pratique}, Vuibert, 1996 \end{thebibliography} 5.1.2 Utilisation de BibTeX Dans ce cas, on d´ e?nit un ou plusieurs ?chiers file.bib qui contiennent les entr´ ees bibliographiques. Ces ?chiers sont appel´ es dans le document source par la commande \bibliography{file1, file2,...}. Le contenu d?un file.bib est un ensemble de d´ eclarations par cat´ egorie : @CATEGORIE{clef, author = {liste-noms-auteur}, title = {titre-article}, month = {mois-parution}, year = {annee-parution}, note = {note}, % Champs optionnels propres ` a chaque cat´ egorie % booktitle = {}, % journal = {}, % volume = {}, % number = {}, 5.1 Bibliographies 29 % pages = {}, % etc. } Exemple : % Une th` ese @PhdThesis{Var phD07, author = {S´ ebastien Varrette}, title = {{S´ ecurit´ e des Architectures de Calcul Distribu´ e: Authenti?cation et Certi?cation de R´ esultats}}, school = {INP Grenoble et Universit´ e du Luxembourg}, year = {2007}, month = {September}, } % Un livre @Book{VB Prog C07, author = {S. Varrette and N. Bernard}, title = {Programmation avanc´ ee en C (avec exercices et corrig´ es)}, publisher = {Herm` es}, year = {2007}, month = {F´ evrier}, series = {Collection Informatique et Syst` emes d?Informations}, isbn = {978?2?7462?1555?9}, url = {\url{http://C.lafraze.net}}, note = {416 pages} } % Un article de journal @Article{LMVV ES05, author = {Franck Leprevost and Jean Monnerat and S´ ebastien Varrette and Serge Vaudenay}, title = {Generating Anomalous Elliptic Curves}, journal = {Information Processing Letters}, month = {March}, year = {2005}, publisher = {Elsevier Science}, volume = {93}, number = {5}, pages = {225??230}, } % Un article dans les proceedings d?une conf´ erence @InProceedings{RV Pasco07, author = {Jean?Louis Roch and Sebastien Varrette}, title = {{Probabilistic Certi?cation of Divide \& Conquer Algorithms on Global Computing Platforms. Application to Fault?Tolerant Exact Matrix?Vector Product.}}, booktitle = {Proceedings of the ACM International Workshop on Parallel Symbolic Computation?07 (PASCO?07)}, year = {2007}, address = {Ontario, Canada}, month = {July}, publisher = {ACM} } % Rapport technique 30 5 ASPECTS AVANC´ ES @TechReport{Var SN05, author = {S´ ebastien Varrette}, title = {Introduction aux r´ eseaux de tri tol´ erants aux fautes}, institution = {Laboratoire ID?IMAG}, year = {2005}, month = {Ao? ut}, note = {Draft version}, } Il existe bien de nombreuses cat´ egories dont la syntaxe est d´ etaill´ ee par exemple ` a l?adresse http://en.wikipedia.org/wiki/BibTeX ou dans les menus des ´ editeurs tels qu?Emacs. Il existe ´ egalement de nombreux outils pour manipu- ler graphiquement les ?chiers BibTeX comme JabRef13, KBibTeX14 ou encore BibDesk15 sous Mac OS X. D?autres outils sont list´ es sur http://www.ecst.csuchico.edu/~jacobsd/bib/tools/. 5.1.3 Styles bibliographiques Il existe plusieurs styles de pr´ esentation des bibliographies. Ils sont con?gu- r´ es par la commande \bibliographystyle{style}. Les principales valeurs du param` etre style sont : ? plain : les entr´ ees sont tri´ ees par ordre alphab´ etique et apparaissent num´ e- rot´ ees ; ? unsrt : les entr´ ees ne sont pas tri´ ees et apparaissent num´ erot´ ees dans l?ordre d?apparition ; ? abbrv : comme plain mais les pr´ enoms des auteurs, les noms des journaux et les mois sont abbr´ eg´ es ; ? alpha : comme plain mais les clefs ne sont plus de simples num´ eros. Ils se bases sur les initiales des auteurs et l?ann´ ee de publication. Tous ces styles et bien d?autres encore sont illustr´ es sur la page http://amath. colorado.edu/documentation/LaTeX/basics/steps/bibstyles.html. 5.1.4 R´ ef´ erencer un objet de la bibliographie Dans tous les cas, la r´ ef´ erence ` a un objet de la bibliographie s?e?ectue avec la commande \cite{clef }. En reprenant l?exemple pr´ ec´ edent, on pourra r´ ef´ erencer l?ouvrage de D.Stinson par : D´ etails de la d´ emonstration dans?\cite{stinson96}, page?14. Pour faire appara? ?tre toutes les r´ ef´ erences non cit´ ees, on peut utiliser la com- mande \nocite*{}. 5.1.5 Compilation avec des r´ ef´ erences bibliographiques Un r´ ef´ erencement complet des citations n´ ecessitera une compilation suppl´ emen- taire. Ainsi, avec BibTeX, la compilation compl` ete se fera de la fa¸ con suivante : 13 http://jabref.sourceforge.net/ 14 http://www.unix-ag.uni-kl.de/~fischer/kbibtex/ 15 http://bibdesk.sourceforge.net/ 5.2 Utilisation de la couleur 31 $ latex file.tex $ bibtex file $ latex file.tex $ latex file.tex 5.2 Utilisation de la couleur L?utilisation de couleurs n´ ecessite le package color qui fournit les commandes : \textcolor{color}{...} change la couleur du texte {\color{color} ...} change la couleur du bloc courant \colorbox{color}{...} d´ e?nit une bo? ?te de couleur \fcolorbox{bordure}{color}{...} d´ e?nit une bo? ?te de couleur encadr´ ee \pagecolor{color} change la couleur de fond de la page Il est possible de d´ e?nir ses propres couleurs ` a l?aide de la commande \definecolor{nom}{model}{value}. model peut prendre les valeurs rgb, gray ou cmyk. value repr´ esente les coordonn´ ees de la couleur souhait´ ee dans le mod` ele choisi. Exemple : \de?necolor{lightred}{rgb}{1,0.5,0.5} \de?necolor{lightgray}{gray}{0.8} \textcolor{lightred}{Lightred} \textcolor{lightgray}{Lightgray} Lightred Lightgray Certaines couleurs sont d´ e?nies par d´ efaut : black, white, red, green, blue, yellow, cyan et magenta. 5.3 Changer le style des pages d?un rapport ou d?un livre Dans le cas d?un document de type report ou book, il est possible de changer le style les pages de fa¸ con ` a ce que l?en-t? ete sup´ erieur des pages paires mentionne le titre du chapitre courant tandis que l?en-t? ete sup´ erieur des pages impaires r´ ef´ erence le titre de la section courante. Dans ce tutorial, le code suivant a ´ et´ e utilis´ e pour con?gurer l?en-t? ete de chaque page : \usepackage{fancyhdr} % ??? style de page (pour les en?tete) ??? \pagestyle{fancy} %\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} %\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\thesection\ #1}} \fancyhf{} \fancyhead[LE,RO]{\bfseries\thepage} \fancyhead[LO]{\bfseries\rightmark} \fancyhead[RE]{\bfseries\leftmark} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} \addtolength{\headheight}{0.5pt} \fancypagestyle{plain}{ \fancyhead{} 32 6 LIENS UTILES \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} } 5.4 Redefinition de commandes ? \newcommand{nom}[nb param][defaut]{de?nition} : d´ e?nit une nouvelle com- mande. Les noms de commandes doivent commencer par ?\?. nb_param est le nombre de param` etres attendus. Si defaut est pr´ ecis´ e, le premier param` etre (#1) est optionnel et a pour valeur defaut. Exemple : \newcommand{\iu}[1]{{\underline{\it #1}}} L?appel \iu{Test} par la suite produira Test. ? \renewcommand : red´ e?nit ou d´ e?nit une commande ; ? \newenvironment{nom}[nb param][defaut]{de?nition}{debut}{fin} : d´ e- ?nit un nouvel environnement. Les blocs debut et ?n remplaceront \begin{nom} et \end{nom}. Exemple : \newenvironment{test} {\begin{center}\small} {\end{center}\vspace{?1em}} 5.5 Presenter un code source avec coloration syntaxique Le package listings16 permet de pr´ esenter un code source avec une coloration syntaxique sp´ eci?que au langage consid´ er´ e. Les exemples de code Latex de ce tutorial sont ainsi pr´ esent´ es de cette fa¸ con avec la con?guration suivante : \usepackage[usenames]{color} \de?necolor{bcode}{rgb}{0.9,0.9,0.9} % Couleur de fond pour les listings \usepackage{listings} %%% Configuration par d´ efaut des listings \ lstset {numbers=left,numberstyle=\tiny,stepnumber=3,?rstnumber=1, language=[LaTeX]TeX,basicstyle=\small,columns=?exible, emph={includegraphics,rowcolor,columncolor,multirow,subsection}, emphstyle=\bfseries,backgroundcolor=\color{bcode}, showstringspaces=false,numbers=none} 6 Liens utiles Outre la bibliographie qui fournit notamment les livres de r´ ef´ erences sur L A TEX [3, 5], il existe un certain nombre de documents qui peuvent vous ? etre utiles en compl´ ement de ce tutorial : ? FAQ (Frequently Asked Questions) L A TEX : http://www.grappa.univ-lille3.fr/FAQ-LaTeX/ Ce site devrait r´ epondre ` a toutes vos interrogations sur L A TEX et la fa¸ con de r´ ealiser telle ou telle chose. ? Le site de r´ ef´ erence pour Latex2e : http://cs.wlu.edu/~necaise/refs/latex2e/Contents.html 16 http://www.pvv.ntnu.no/~berland/latex/docs/listings.pdf R´ EF´ ERENCES 33 ? Le site http://www-h.eng.cam.ac.uk/help/tpl/textprocessing/ r´ ef´ erence bon nombres de documents sur L A TEX. ? J?aime beaucoup le site http://www.commentcamarche.net/ qui contient no- tamment un tutorial de Thomas Nemeth sur Latex [4]. ? Linda CHAN-SUN a ´ ecrit un tutorial [1] pour les ´ etudiants de supinfo. ? Le ?vieux? tutorial de Fr´ ed´ eric Geraerds [2] pourra ´ egalement vous ? etre utile. ? Un tutorial en anglais avec quelques exercices : http://www.cs.cornell.edu/Info/Misc/LaTeX-Tutorial/LaTeX-Home.html ? ?Installer L A TEX sous Windows? http://mathro.fpms.ac.be/~glineur/LaTeX/index.fr.html R´ ef´ erences [1] Linda Chan-Sun. Tutorial LaTeX, juin 2004. http://www. supinfo-projects.com/fr/2004/latex/. [2] Fr´ ed´ eric Geraerds. Guide LaTeX, sept. 1997. http://www.spi.ens.fr/ ~beig/1999/intro/Latex/. [3] Leslie Lamport. A Document Preparation System : LaTeX. Addison-Wesley, 2nd edition, 1994. ISBN 0-201-52983-1. [4] Thomas Nemeth. Cours document sur l?utilisation de Latex2e, dec. 2000. http://www.commentcamarche.net/ccmdoc/index.php3?Mot=latex. [5] Christian Rolland. LaTeX par la pratique. O?Reilly, 1999. ISBN 2841770737. A Licence Ce document est produit sous les termes de la licence CC Creative Commons « Paternit´ e-Pas d?Utili- sation Commerciale-Pas de Modification 2.0 France ». Vous etes Libres : ? de reproduire, distribuer et communiquer cette cr´ eation au public Selon les conditions suivantes : ? Paternit´ e. Vous devez citer le nom de l?auteur original de la mani` ere indiqu´ ee par l?auteur de l?oeuvre ou le titulaire des droits qui vous conf` ere cette autorisation (mais pas d?une mani` ere qui sugg´ ererait qu?ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l?oeuvre). ? Pas d?Utilisation Commerciale. Vous n?avez pas le droit d?utiliser cette cr´ eation ` a des fins commerciales. ? Pas de Modification. Vous n?avez pas le droit de modifier, de transformer ou d?adapter cette cr´ eation. ? A chaque r´ eutilisation ou distribution de cette cr´ eation, vous devez faire appara? ?tre clairement au public les conditions contractuelles de sa mise ` a disposition. La meilleure mani` ere de les indiquer est un lien vers la page web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. ? Chacune de ces conditions peut ? etre lev´ ee si vous obtenez l?autorisation du titulaire des droits sur cette oeuvre. ? Rien dans ce contrat ne diminue ou ne restreint le droit moral de l?auteur ou des auteurs.

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